PERIODO:
UNIDAD N:0 PROGRESIONES Y SUCESIONES
- identificar las sucesiones
- calcular el termino general de una sucesiones
- identificar sucesiones aritméticas y geométricas
- hallar el valor de series aritméticas y geométricas
- resolver ejercicios que indique progresiones aritméticas y geométricas
LAS SUCESIONES
es un conjunto de números ordenados formados de acuerdo a una regla de tal forma que es posible identificar un primer elemento, y segundo elemento y así sucesivamente.
LAS SUCESIONES CUMPLEN DOS PROPIEDADES
1: tiene un primer termino
2: cada termino tiene un sucesor inmediato
para representar sucesiones es común utilizar subsidies
ejemplo:
los números a1 ,a2 ,a3...an son los términos de sucesión.
el numero an es el termino n- de la sucesión, y la sucesión completa se expresa por [an]
el termino an se le llama al termino general de la sucesión completa se expresa por [an]
el termino an se le llama al termino general de la sucesión y si el termino general esta expresado mediante una formula entonces se puede hallar cualquier termino de la sucesión
SUCESIVO ARITMÉTICA
es aquella que en la cual la diferencia entre términos consecutivos es una constante:
ejemplo: 3 6 9 12
8 14 20 26
por lo tanto se puede representar mediante las siguiente formula
- an+b
donde a es la diferencia entre términos de la sucesión
n es el numero del termino deseado
b lo encontramos en el primer termino.
ejemplo:
para sumar los términos n es una sucesión aritmética se presenta la siguiente formula y se denomina serie:
ejemplo: calcular la suma de los 10 primeros términos de la sucesión 7,11,15,19,23
ejemplo: calcular la suma de los 17 primeros términos de la sucesión 27,33,39,45
- calcular la serie 18 de la sucesión 25,20,15
- ll ll ll 13 ll ll ll -32,-38,-42,-48
- ll ll ll 27 ll ll ll -33,30,27
- ll ll ll 13 ll ll ll 63,69,75
DESARROLLO:
SUCESIONES GEOMÉTRICAS:
son aquellas en la cual el cociente entre todo termino consecutivo en una constante y se representa así:
EJERCICIOS:
- calcular el termino 10 de las sucesión 3,9,27
- ll ll ll 8 ll ll ll 4,8,16
- ll ll ll 6 ll ll ll 5,25,125
- ll ll ll 5 ll ll ll 7,49,343
- ll ll ll 8 ll ll ll 6,36,215
DESARROLLO:
PROGRESIONES ARTIMETICAS Y GEOMÉTRICAS
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
:
EJEMPLO:
ÁNGULOS: Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.1 Suelen medirse en unidades tales como el radian, el grado cuadragesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonométrica plana) o curvas (higrometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos sesquiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
ÁNGULOS ORIENTALES Y ÁNGULOS POSICIÓN NORMAL
ÁNGULOS TERMINALES
Para encontrar un ángulo terminal positivo y uno negativo con un ángulo dado, puede sumar y restar 360° si el ángulo es medido en grados o 2π si el ángulo es medido en radiasen.
ÁNGULOS COTERMINALES
Un angulo en posicon normal se dice que es coterminal a otro angulo también en posición normal. si su lado final es el mismo para determinar dos ángulos coterminales se debe, tener encueta un giro completo en el plano carteciano que equivale a 360 g centigrados; por lo tanto al tener un angulo alfa sus ángulos coterminales son la suma o resta entre un angulo alfa y un múltiplo de 360g.
B = X + 306g
Para encontrar un angulo B positivo y coterminal al angulo de 135g que se encuentra en posición normal basta en sumarle un múltiplo de 360g.
EJEMPLO:
EJEMPLO 2:
ACTIVIDAD
Pasar de radiaciones a grados
DESARROLLO
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
de acuerdo con los lados que esten en relacion, se define al razon trigonometrica.
para el caso del angulo alfa.
de acuerdo con la figura se tiene:
Ademas de las razones trigonométricas ceno,coceno,tagente, también es posible las razones cotangente ``cecante´´ es decir:
EJERCICIO:
TALLER;
Determina las razones trigonométricas de los ángulos del triangulo abc para los ángulos alfa y beta de la siguientes figuras:
DESARROLLO:
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30,15 Y 60G
TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO
El triangulo abc en oblicuángulo es decir, que no tiene ángulos rectos para solucionar este tipo de triangulo se puede utilizar cualquier tipo de teorema entre los que se tiene el teorema del seno y teorema del coseno.
TEOREMA DEL SENO
para cualquier triangulo se cumple que la medida de los dos lados es directamente proporcional al valor del seno de los ángulos opuestos.
El teorema del seno puede aplicarse cuando se conoce un lado y dos ángulos (ALA)
O (LAA), o cuando se conocen dos lados y el angulo apuesto al angulo de ellos(LLA)
EJERCICIOS
1
2
3
TEOREMA DEL COSENO
el teorema del cuadrado de una longitud de cualquier lado de un triangulo es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los otros lados menos 2 veces el producto de esta por el coseno del angulo comprendidos entre ellos
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y PRECICION
- ÁNGULOS DE ELEVACIÓN: es el angulo que forma la horizontal visual con la linea diagonal en sentido positivo
- ANGULO DEPRECION: es el angulo de la horizontal visual y el barrido diagonal en el sentido negativo
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
una identidad trigonométrica es una equivalencia que involucra funciones verticales para cualquier valor de las variables que se consideren
recordando que si X es un angulo en posición normal, el punto P es un punto del lado terminal del alfa entonces:
de la definición de estas funciones trigonométricas se pueden establecer las identidades trigonométricas fundamentales que se agrupan son indeticas reciprocas, identidades de cocientes e identidades pitagóricas.
2.IDENTIDADES DE COCIENTE : son las razones de dos funciones trigonométricas, las cuales se deducen de las definiciones para el angulo en posición normal así se tiene :
IDENTIDADES PITAGÓRICAS
se deduce para todo angulo en posición según el teorema de pitagoras, el valor de la R
(hipotenusa) de la figura anterior, se puede obtener mediante igualdad
si se deduce cada miembro de la igualdad por r al cuadrado se obtiene los siguientes equivalentes
con lo anterior, se obtiene la identidad pitagórica fundamental llamada así :
TRANSFORMACIONES DE LA IDENTIDAD PITAGÓRICA FUNDAMENTAL
la transformación de identidad pitagórica pueden entenderse dos identidades una relacionada entre si las funciones tagente de alfa con la secante del alfa la otra se relaciona con csc o conc.
RELACIÓN ENTRE TANGX Y SECX
las identidades trigonométricas fundamentales anteriormente se pueden resumir en la siguiente tabla
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS
Algunas expresiones trigonométricas pueden simplificarse, esto es escribirse en una forma mas simple utilizando las identidades fundamentales.
este proceso por lo general requiere de la realización de operaciones y la aplicación de las expresiones y obtener nuevas identidades
POR EJEMPLO: simplifica la expresión
TALLER 1
DESARROLLO
TALLER 2
TALLER 3
